El Número que No Existe (Y Por Qué lo Necesitamos)
Existe un número imposible. Pero fundamental. Capítulo 0.5 — Curso de Física Cuántica: "El Lenguaje Secreto de la Naturaleza"
Hay un número que tu calculadora rechaza.
Pregúntale cuánto es √(-1) y te dirá "Error" o "No definido" o simplemente se negará a responder.
Y sin embargo, este número "imposible" está en el corazón de la mecánica cuántica.
Sin él, no podríamos describir cómo se comportan los electrones, los fotones, o cualquier partícula del universo.
¿Cómo puede algo que "no existe" ser tan fundamental para describir la realidad?
Resulta que hemos estado pensando en los números de manera incompleta.
El Problema Original
Empecemos con algo simple.
¿Cuánto es √4? Fácil: 2, porque 2×2 = 4.
¿Cuánto es √1? También fácil: 1.
¿Cuánto es √(-1)?
Aquí nos atascamos.
Necesitamos un número que multiplicado por sí mismo dé -1.
Probemos con 1: 1×1 = 1. Positivo. No sirve.
Probemos con -1: (-1)×(-1) = 1. También positivo. Tampoco sirve.
El problema es que cualquier número multiplicado por sí mismo da un resultado positivo (o cero). Nunca negativo.
Durante siglos, los matemáticos simplemente dijeron "no tiene solución" y siguieron adelante.
Hasta que alguien tuvo una idea audaz.
La Idea Loca
¿Y si simplemente inventamos un número nuevo?
Llamémoslo i. Y declaremos, por decreto, que:
$$i \times i = -1$$
"¡Pero eso es trampa!", podrías decir. "No puedes inventar números."
¿Ah, no? ¿Y de dónde crees que vinieron los números negativos?
Hubo una época en que la gente decía:
"¿Cómo voy a tener -3 manzanas? ¡Eso no tiene sentido!".
Pero inventamos los negativos porque eran útiles para describir deudas, temperaturas bajo cero, direcciones opuestas.
Lo mismo con las fracciones. Y con el cero.
Y con los irracionales como √2.
Cada vez que los matemáticos se topaban con un problema "imposible", inventaban números nuevos.
Y cada vez, esos números resultaban describir algo real.
Con i pasó exactamente lo mismo.
Los Números Complejos
Una vez que tienes i, puedes combinarlo con números normales.
Por ejemplo: 3 + 2i.
¿Qué significa esto? Significa "3 unidades en la dirección normal, más 2 unidades en la dirección de i".
Estos se llaman números complejos. Tienen una parte "real" (el 3) y una parte "imaginaria" (el 2i).
Y aquí viene la revelación...
El Plano Complejo: Los Números como Puntos
Piensa en una hoja de papel.
El eje horizontal representa los números reales: ...-2, -1, 0, 1, 2, 3...
Ahora añade un eje vertical. Este representa los múltiplos de i: ...-2i, -i, 0, i, 2i...
Cualquier número complejo como 3 + 2i es simplemente un punto en este plano. Caminas 3 unidades a la derecha, luego 2 unidades hacia arriba. Ahí está tu número.
¿Te suena familiar?
Es un vector. Un número complejo es un vector de dos dimensiones.
Pero hay algo especial que los números complejos pueden hacer que los vectores ordinarios no.
La Magia de Multiplicar por i
Observa con cuidado.
Toma el número 1. Está en el eje horizontal, una unidad a la derecha del origen.
Ahora multiplícalo por i:
$$1 \times i = i$$
¿Dónde está i en el plano? Una unidad hacia arriba. En el eje vertical (eje imaginario).
Pasamos de apuntar a la derecha a apuntar hacia arriba.
Multipliquemos por i otra vez:
$$i \times i = -1$$
¿Dónde está -1? Una unidad hacia la izquierda.
Otra vez:
$$-1 \times i = -i$$
Una unidad hacia abajo.
Y una vez más:
$$-i \times i = 1$$
¡Volvimos al inicio!
¿Ves el patrón?
Derecha → Arriba → Izquierda → Abajo → Derecha...
Cada vez que multiplicas por i, rotas 90 grados en sentido antihorario.
i No Es un Número. Es una Rotación.
Detente aquí porque esto es profundo.
Multiplicar por i no es sumar algo, ni escalar algo. Es girar.
i es la instrucción: "Rota 90 grados".
$$i^2 = -1 \quad \text{(180°)}$$
$$i^4 = 1 \quad \text{(360°)}$$
Los números "imaginarios" no son imaginarios en absoluto.
Son rotaciones en un plano bidimensional.
Por eso el nombre "imaginario" es tan desafortunado.
No tienen nada de imaginario. Son tan reales como los negativos o las fracciones — simplemente describen una dimensión que no habíamos considerado.
¿Y esto que ver con Cuántica?
Ahora viene la conexión.
En mecánica cuántica, las partículas se describen con... ondas.
Estas ondas son complejas, es decir, tienen partes reales e imaginarias.
¿Por qué complejas? Porque las partículas cuánticas oscilan en el eje imaginario.
Pero no oscilan como una cuerda de guitarra (arriba y abajo). Oscilan rotando en el plano complejo (Esto es "la fase").
Imagina un vector que gira continuamente en el plano complejo. Su parte real sube y baja como un coseno. Su parte imaginaria sube y baja como un seno.
Esa rotación continua es la "vibración" de una partícula cuántica.
Cuando decimos que un electrón tiene cierta energía, lo que realmente decimos es que su "onda" rota a cierta velocidad en el plano complejo.
Más energía = rotación más rápida.
Esa es la conexión.
La energía de una partícula es la velocidad de rotación de su fase compleja.
Resumen: Lo que Acabamos de Aprender
- √(-1) no tiene solución en los números reales, así que inventamos i.
- Los números complejos (Ej: 3 + 2i) son puntos en un plano bidimensional. (El cartesiano de toda la vida)
- Multiplicar por i = rotar 90 grados sentido antihorario.
- Las partículas cuánticas oscilan rotando en el plano complejo.
- La energía de una partícula es la velocidad de esa rotación.
Lo que Viene
Tenemos vectores. Tenemos matrices. Tenemos números complejos.
Ahora necesitamos entender el fenómeno más universal del cosmos: las ondas.
¿Por qué todo en el universo que se repite puede describirse con senos y cosenos? ¿Qué demonios es en verdad seno y coseno?
La respuesta nos llevará a la transformada de Fourier — y nos dará la primera pista de por qué existe un principio fundamental de la realidad.
"El libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas."
— Galileo Galilei
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