Matrices: Las Máquinas que Transforman el Espacio

Ya sabemos qué es un vector y cómo medir si dos se parecen.

Ahora vamos a hacer algo más ambicioso.

Vamos a transformar el espacio entero.

La Pregunta que Nadie Hace

Imagina una hoja de papel cuadriculada. Cada punto de la hoja es un vector —una posición que puedes describir con dos números (x, y).

Ahora imagina que tomas esa hoja y la estiras hacia la derecha. O la rotas 45 grados. O la aplastas verticalmente hasta que quede como una línea.

Cada punto de la hoja se movió. Cada vector cambió. El espacio entero se transformó.

Aquí está la pregunta:

¿Cómo describirías esa transformación con números?

Podrías hacer una lista infinita: 'este punto va aquí, aquel va allá...' Pero hay infinitos puntos.

Hay infinitos puntos en la hoja. Eso sería infinito.

¿Existe una forma compacta de capturar toda la transformación con solo unos pocos números?

Sí. Y es más elegante de lo que imaginas.

Los Dos Vectores que Importan

Hagamos un experimento mental.

En tu hoja cuadriculada, marca dos vectores especiales:

• î (se pronuncia "i sombrero"): el vector que va una unidad hacia la derecha. Es decir, (1, 0).
• ĵ (se pronuncia "j sombrero"): el vector que va una unidad hacia arriba. Es decir, (0, 1).

Estos son los vectores base. Son como las unidades de medida del espacio. Cualquier otro vector puede escribirse como combinación de estos dos.

Por ejemplo, el vector (3, 2) es simplemente: "3 veces î más 2 veces ĵ".

¿Ves a dónde voy con esto?

El Truco

Ahora supongamos que transformo el espacio. Estiro, roto, aplasto, lo que sea.

Después de la transformación:

• î terminó en (2, 1)
• ĵ terminó en (-1, 1)

Pregunta clave: Si sé a dónde fueron î y ĵ, ¿puedo saber a dónde fue cualquier otro vector?

Piénsalo.

El vector (3, 2) era "3 veces î más 2 veces ĵ" antes.

Después, sigue siendo "3 veces (nuevo î) más 2 veces (nuevo ĵ)

Hagamos la cuenta:

$$ 3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} $$

¡Listo! Solo necesité saber qué pasó con los vectores base.

¿Tiene sentido?

La transformación queda completamente determinada por lo que les hace a los vectores base.

Esto es una Matriz

Una matriz no es más que esto:

una forma compacta de escribir a dónde van los vectores base.

Primera columna: a dónde fue î.

Segunda columna: a dónde fue ĵ.

Eso es todo.

La matriz se escribe poniendo estos destinos como columnas:

$$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Multiplicar Matriz por Vector

Cuando multiplicas una matriz por un vector, estás preguntando: "¿A dónde va este vector después de la transformación?"

Ya lo hicimos: (3, 2) se convirtió en (4, 5).

Eso es literalmente lo que significa "multiplicar matriz por vector"

Visualizando Transformaciones

Detengámonos a visualizar algunos tipos de matrices.

Matriz identidad:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

î va a (1, 0). ĵ va a (0, 1). ¡No se mueven! Esta matriz no hace nada. Es como multiplicar por 1.

Rotación 90° antihorario:

$$ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

î (que apuntaba a la derecha) va a (0, 1) —ahora apunta arriba. ĵ (que apuntaba arriba) va a (-1, 0) —ahora apunta a la izquierda. Todo rotó 90°.

Colapso a una línea:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

î va a (1, 0). ĵ va a (1, 0). ¡Ambos van al mismo lugar! Todo el espacio 2D se aplasta en una línea horizontal. Información se pierde.

¿Puedes sentir cómo cada matriz tiene una "personalidad"?

La Conexión con la Física Cuántica

Ahora viene la parte que importa para nuestro viaje.

En mecánica cuántica, el estado de una partícula es un vector. Ya lo mencionamos antes.

¿Y sabes qué es medir una propiedad de esa partícula?

Es aplicar una matriz al vector de estado.

Cada propiedad medible —posición, momento, energía, espín— tiene asociada una matriz (los físicos la llaman "operador"). Cuando mides esa propiedad, matemáticamente estás multiplicando el vector de estado por esa matriz.

La matriz transforma el estado. Lo cambia. Por eso medir en cuántica no es pasivo. Medir es hacer algo al sistema.

Pero hay algo más profundo aún. Las matrices cuánticas tienen propiedades especiales, y los únicos resultados posibles de una medición son números muy particulares asociados a la matriz.

¿Qué números? Los autovalores.

Pero eso merece su propio capítulo.

Resumen: Lo que Acabamos de Aprender

1. Una matriz empaqueta una transformación: sus columnas dicen a dónde van los vectores base.
2. Multiplicar matriz × vector = aplicar la transformación.
3. En cuántica, medir = aplicar una matriz al estado.

Lo que Viene

Hemos visto que las matrices transforman vectores. Pero hay ciertas direcciones especiales —vectores que, cuando les aplicas una matriz, no cambian de dirección. Solo se estiran o encogen.

Estos vectores tercos, que se niegan a rotar, se llaman autovectores. Y la cantidad que se estiran o encogen se llama autovalor.

¿Por qué importan? Porque en mecánica cuántica, los autovalores de una matriz son los únicos resultados posibles cuando mides algo.

No puedes obtener cualquier número. Solo los autovalores. La naturaleza tiene opciones limitadas.

Eso es lo que exploraremos en el siguiente capítulo.

"La imaginación es más importante que el conocimiento. El conocimiento es limitado. La imaginación circunda el mundo."

— Albert Einstein

Siguiente: Capítulo 0.4 — "Las Direcciones Especiales: Autovectores y Autovalores"